Question

12．如圖，已知四邊形OABC是菱形，CD⊥x軸，垂足為D，函數(shù)$y=\frac{4}{x}$的圖象經(jīng)過點C，且與AB交于點E．若OD=2，則△OAE的面積為2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 過E作EF垂直于x軸，由OD的長得到C的橫坐標，代入反比例解析式求出縱坐標，確定出CD的長，利用勾股定理求出OC的長，即為OA的長，設(shè)EF=AF=x，表示出E坐標，代入反比例解析式求出x的值，確定出EF的長，即可求出三角形OAE面積．

解答 解：過點E作EF⊥x軸，交x軸于點F，
∵OD=2，即C橫坐標為2，
∴把x=2代入反比例解析式得：y=2，即C（2，2），
∴CD=OD=2，即△OCD為等腰直角三角形，
∵四邊形ABCO為菱形，
∴OC∥AB，OA=OC=2$\sqrt{2}$，
∴∠EAF=45°，
設(shè)EF=AF=x，則有OF=OA+AF=2$\sqrt{2}$+x，
∴E（2$\sqrt{2}$+x，x），
把E坐標代入反比例解析式得：x（2$\sqrt{2}$+x）=4，
解得：x=-$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$（負值舍去），
則△OAE面積S=$\frac{1}{2}$OA•EF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（-$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）=2$\sqrt{3}{-}$2．
故答案為：2$\sqrt{3}$-2

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．