Question

已知拋物線y=x²+（k+1）x+1與x軸的兩個交點是A、B，拋物線頂點為C．
（1）寫出有關(guān)拋物線的兩條正確結(jié)論；
（2）已知點A（-2，0），求△ABC的面積；
（3）若點A、B不全在原點的左側(cè)，△ABC恰為等邊三角形，那么k的值是多少？

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）舉出①拋物線開口向上；②拋物線與y軸交于點（0，1）．
（2）先求出k，再寫出拋物線的解析式y(tǒng)=x²+

5

2

x+1=（x+

5

4

）²-

9

16

，求出點C的坐標．AB的距離，求出三角形的面積．
（3）求出點C的縱坐標，設A（x₁，0）、B（x₂，0），則x₁、x₂為方程x²+（k+1）x+1=0的兩根，求出AB，由于△ABC為正三角形，有有

k2+2k-3

4

：

AB

2

=tan60°=

3

，得（

k2+2k-3

4

）²：

k2+2k-3

4

=3．求出k的值．

解答：解：（1）①拋物線開口向上；②拋物線與y軸交于點（0，1）．
（2）把x=-2，y=0代入y=x²+（k+1）x+1中，得0=（-2）²-2（k+1）+1，
∴k=

3

2

，
∴拋物線的解析式為y=x²+

5

2

x+1=（x+

5

4

）²-

9

16

．
∴C（-

5

4

，-

9

16

）
又當y=0時，即x²+

5

2

x+1=0，解得x₁=-2，x₂=-

1

2

，即B（-

1

2

，0）．
因此，AB=|-

1

2

-（-2）|=

3

2

∴S_△ABC=

1

2

×

3

2

×|-

9

16

|=

27

64

．
（3）據(jù)題知，拋物線的頂點必在y右側(cè)，且在第四象限，即k+1＜0，即k＜-1．
由y=x²+（k+1）x+1可求得點C的縱坐標為

4-(k+1)2

4

=

-k2-2k+3

4

＜0．
又設A（x₁，0）、B（x₂，0），則x₁、x₂為方程x²+（k+1）x+1=0的兩根，即x₁+x₂=-（k+1），x₁•x₂=1，
∴AB²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（k+1）²-4=k²+2k-3．
由于△ABC為正三角形，有

k2+2k-3

4

：

AB

2

=tan60°=

3

，
∴（

k2+2k-3

4

）²：（

AB

2

）²=3．
即∴（

k2+2k-3

4

）²：

k2+2k-3

4

=3．
∴k²+2k-15=0，
解得k=-5或k=3（舍去），
∴k=-5．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系推出兩點間的距離表達式，再利用三角函數(shù)和拋物線頂點坐標公式列出等式是解題的關(guān)鍵．另外，此題對同學們的計算能力要求較高，對用換元法解方程應當有一定程度的了解．