Question

4．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E、K分別在DC、AB上，CE=BK，點G在BA的延長線上，DG⊥DE．
（1）證明：DE=DG；
（2）以線段DE、DG為邊作正方形DEFG，連接KF、BF．證明：S_{四邊形CEFK}=2S_△BFK．（S_{四邊形CEFK}、S_△BFK分別為四邊形CEFK、△BFK的面積）

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，DG⊥DE，易證得△ADG≌△CDE，然后由全等三角形的性質(zhì)，證得：DE=DG；
（2）由CE=BK，易證得△KBC≌△ECD，又由以線段DE、DG為邊作正方形DEFG，證得CK∥EF，CK=EF，即可證得四邊形CEFK是平行四邊形，繼而證得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠DAB=∠ADC=∠DCE=90°，
∴∠DAG=90°，∠CDE+∠ADE=90°，
∵DG⊥DE，
∴∠ADE+∠ADG=90°，
∴∠ADG=∠CDE，
在△ADG和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADG=∠CDE}\\{DA=DC}\\{∠DAG=∠DCE}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴DE=DG；

（2）設(shè)DE與CK交于點O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠KBC=∠ECD=90°，BC=CD，
在△KBC和△ECD中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠KBC=∠ECD}\\{KB=EC}\end{array}\right.$，
∴△KBC≌△ECD（SAS），
∴DE=CK，∠DEC=∠BKC，
∵∠ABC=90°，
∴∠KCB+∠BKC=90°，
∴∠KCB+∠DEC=90°，
∴∠EOC=180°-90°=90°，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴EF=DE，∠FED=90°=∠EOC，
∴CK=EF，CK∥EF，
∴四邊形CEFK是平行四邊形，
∴BK⊥FK，
∴S_{四邊形CEFK}=FK•BK，S_△BFK=$\frac{1}{2}$FK•BK，
∴S_{四邊形CEFK}=2S_△BFK．

點評 此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)與判定．注意證得△ADG≌△CDE，△KBC≌△ECD以及四邊形CEFK是平行四邊形是解此題的關(guān)鍵．