Question

我們常見(jiàn)的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過(guò)鍋心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡(jiǎn)稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直接坐標(biāo)系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線的記為C₁，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C₂．

（1）求C₁和C₂的解析式；

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)B作直線BE：y=x﹣1交C₁于點(diǎn)E（﹣2，﹣），連接OE、BC，在x軸上求一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的△PBC與△BOE相似，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C₁或C₂上是否存在一點(diǎn)Q，使得△EBQ的面積最大？若存在，求出Q的坐標(biāo)和△EBQ面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=x²﹣3（﹣3≤x≤3），y=﹣x²+1（﹣3≤x≤3）（2）P₁（，0）、P₂（﹣，0）（3）（），

【解析】解：（1）∵拋物線C₁、C₂都過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（3，0），

∴設(shè)它們的解析式為：y=a（x﹣3）（x+3）。

∵拋物線C₁還經(jīng)過(guò)D（0，﹣3），∴﹣3=a（0﹣3）（0+3），解得a=。

∴拋物線C₁：y=（x﹣3）（x+3），即y=x²﹣3（﹣3≤x≤3）。

∵拋物線C₂還經(jīng)過(guò)A（0，1），∴1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣

∴拋物線C₂：y=﹣（x﹣3）（x+3），即y=﹣x²+1（﹣3≤x≤3）。

（2）∵直線BE：y=x﹣1必過(guò)（0，﹣1），∴∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）。

∵由E點(diǎn)坐標(biāo)可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO，

∴它們的補(bǔ)角∠EOB≠∠CBx。

若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的△PBC與△BOE相似，只需考慮兩種情況：

①∠CBP₁=∠EBO，且OB：BE=BP₁：BC，

由已知和勾股定理，得OB=3，BE=，BC=。

∴3：=BP₁：，

得：BP₁=，OP₁=OB﹣BP₁=�！郟₁（，0）

②∠P₂BC=∠EBO，且BC：BP₂=OB：BE，即：

：BP₂=3：，得：BP₂=，OP₂=BP₂﹣OB=�！郟₂（﹣，0）．

綜上所述，符合條件的P點(diǎn)有：P₁（，0）、P₂（﹣，0）。

（3）如圖，作直線l∥直線BE，

設(shè)直線l：y=x+b。

①當(dāng)直線l與拋物線C₁只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)：

x+b=x²﹣3，即：x²﹣x﹣（3b+9）=0。

由△=（－1）²＋4（3b+9）=0。得。

此時(shí)，。

∴該交點(diǎn)Q₂（）。

過(guò)點(diǎn)Q₂作Q₂F⊥BE于點(diǎn)F

，則由BE：y=x﹣1可用相似得Q₂F的斜率為－3，

設(shè)Q₂F：y=－3x＋m。將Q₂（）代入，可得�！郠₂F：y=－3x。

聯(lián)立BE和Q₂F，解得�！郌（）。

∴Q₂到直線 BE：y=x﹣1的距離Q₂F：。

②當(dāng)直線l與拋物線C₂只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)：x+b=﹣x²+1，即：x²+3x+9b﹣9=0。

由△=3²＋4（9b－9）=0。得。

此時(shí)，�！嘣摻稽c(diǎn)Q₁（）。

同上方法可得Q₁到直線 BE：y=x﹣1 的距離：。

∵，

∴符合條件的Q點(diǎn)為Q₁（）。

∴△EBQ的最大面積：。

（1）已知A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定兩函數(shù)的解析式。

（2）根據(jù)直線BE：y=x﹣1知，該直線必過(guò)（0，﹣1）點(diǎn)，那么∠EBO=∠CBO，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的△PBC與△BOE相似，那么夾這組對(duì)應(yīng)角的對(duì)應(yīng)邊必成比例，先求出BC、BO、BE的長(zhǎng)，然后分情況根據(jù)線段間的比例關(guān)系求出BP的長(zhǎng)，進(jìn)而得到OP的長(zhǎng)，即可確定P點(diǎn)坐標(biāo)。

（3）△EBQ中，BE長(zhǎng)為定值，若以BE為底，當(dāng)△EBQ的面積最大時(shí)，Q到直線BE的距離最大；由于點(diǎn)Q可能在拋物線C₁或C₂上，因此兩種情況都要解一下，最后通過(guò)比較得到能使△EBQ面積最大的Q點(diǎn)．首先作直線l∥BE，分別令直線l與拋物線C₁、C₂有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，那么符合條件的Q點(diǎn)必在這兩個(gè)交點(diǎn)中，先求出這兩個(gè)交點(diǎn)分別到直線BE的距離，距離大者符合條件，由此可得到Q點(diǎn)坐標(biāo)和△EBQ的面積最大值