Question

如圖，定義：若雙曲線y＝(k＞0)與它的其中一條對稱軸y＝x相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長度為雙曲線y＝(k＞0)的對徑．

(1)求雙曲線y＝的對徑；

(2)若雙曲線y＝(k＞0)的對徑是10，求k的值；

(3)仿照上述定義，定義雙曲線y＝(k＜0)的對徑．

Answer 1

答案：
解析：

分析：過A點(diǎn)作AC⊥x軸于C， 　　(1)先解方程組，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)，即OC＝AC＝1，則△OAC為等腰直角三角形，得到OA＝OC＝，則AB＝2OA＝2，于是得到雙曲線y＝的對徑； 　　(2)根據(jù)雙曲線的對徑的定義得到當(dāng)雙曲線的對徑為10，即AB＝10，OA＝5，根據(jù)OA＝OC＝AC，則OC＝AC＝5，得到點(diǎn)A坐標(biāo)為(5，5)，把A(5，5)代入雙曲線y＝(k＞0)即可得到k的值； 　　(3)雙曲線y＝(k＜0)的一條對稱軸與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題目中的定義易得到雙曲線y＝(k＜0)的對徑． 　　解答：解：過A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，如圖， 　　(1)解方程組，得，， 　　∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)， 　　∴OC＝AC＝1， 　　∴OA＝OC＝， 　　∴AB＝2OA＝2， 　　∴雙曲線y＝的對徑是2； 　　(2)∵雙曲線的對徑為10，即AB＝10，OA＝5， 　　∴OA＝OC＝AC， 　　∴OC＝AC＝5， 　　∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(5，5)， 　　把A(5，5)代入雙曲線y＝(k＞0)得k＝5×5＝25， 　　即k的值為25； 　　(3)若雙曲線y＝(k＜0)與它的其中一條對稱軸y＝－x相交于A、B兩點(diǎn)， 　　則線段AB的長稱為雙曲線y＝(k＞0)的對徑． 　　點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式；等腰直角三角形的斜邊是直角邊的倍；強(qiáng)化理解能力．

提示：

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．