Question

已知：如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于E，交BC的延長線于F．求證：
（1）FD²=FB•FC；
（2）AB²：AC²=BF：CF．

Answer 1

分析：（1）利用垂直平分線的性質(zhì)得出AF=DF，進而利用外角的性質(zhì)得出∠B=∠1，即可得出△ACF∽△BAF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求由相似三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：證明：（1）連結(jié)AF，
∵AD的垂直平分線交AD于E，
∴AF=DF，
∴∠1+∠2=∠4，
∵∠B+∠3=∠4，
∠2=∠3，
∴∠B=∠1，
∵∠AFB=∠CFA，
∴△ACF∽△BAF，
∴

AF

BF

=

CF

AF

，
∴AF²=FB•FC，
即FD²=FB•FC．

（2）∵△ACF∽△BAF，
∴

AB

AC

=

AF

CF

，

AB

AC

=

BF

AF

，
即

AB2

AC2

=

BF

CF

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠B=∠1是解題關鍵．