Question

已知如圖，半徑為2的⊙A與直線l相切于C，點B與⊙A在l的同旁，與l的距離BD=6，DC=15，點P為l上到A、B兩點距離之和為最短的一點，試確定P點的位置，并求出PC和PD．

Answer 1

解：∵半徑為2的⊙A與直線l相切于C，
∴以l為對稱軸作點A的對稱點A′，
連接BA’，交l與點P，
點P即要求的點，
∵PA=PA′，
∴PA+PB=PA′+PB=BA′（兩點之間線段最短）；

由作圖得∠APC=∠A′PC，
∵∠A′PC=∠BPD（對頂角相等），
∴∠BPD=∠APC，
∴由已知在Rt△PDB和Rt△PCA中，
∴tan∠BPD=tan∠APC，
∴=，
即=，
得：PD=，
則PC=15-PD=．
分析：由已知先以l為對稱軸作點A的對稱點A’，連接BA’，交l與點P，根據軸對稱性質及兩點之間線段最短確定點P，再根據求兩個直角三角形的正切值求出PC和PD．
點評：此題考查的知識點是切線的性質，關鍵是運用軸對稱，兩點之間線段最短及三角函數(shù)值解答．