Question

已知拋物線y=ax²﹣2x+c與它的對稱軸相交于點A（1，﹣4），與y軸交于C，與x軸正半軸交于B．

（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)直線AC交x軸于D，P是線段AD上一動點（P點異于A，D），過P作PE∥x軸交直線AB于E，過E作EF⊥x軸于F，求當(dāng)四邊形OPEF的面積等于時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由題意，知點A（1，﹣4）是拋物線的頂點， ∴ ∴a=1，c=﹣3， ∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x2﹣2x﹣3； （2）由（1）知，點C的坐標(biāo)是（0，﹣3）． 設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b， 則 ∴b=﹣3，k=﹣1， ∴y=﹣x﹣3． 由y=x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3 ∴點B的坐標(biāo)是（3，0）． 設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y=mx+n， 則  ∴m=2，n=﹣6． ∴直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y=2x﹣6． 設(shè)P點坐標(biāo)為（xP，yP），則yP=﹣xP﹣3． ∵PE∥x軸， ∴E點的縱坐標(biāo)也是﹣xP﹣3． 設(shè)E點坐標(biāo)為（xE，yE）， ∵點E在直線AB上， ∴﹣xP﹣3=2xE﹣6， ∴xE=． ∵EF⊥x軸， ∴F點的坐標(biāo)為（，0）， ∴PE=xE﹣xP=，OF=，EF=﹣（﹣xP﹣3）=xP+3， ∴S四邊形OPEF=（PE+OF）·EF=（+）·（xP+3）=， 2xP2+3xP﹣2=0， ∴xP=﹣2，， 當(dāng)y=0時，x=﹣3， 而﹣3＜﹣2＜1，， ∴P點坐標(biāo)為和（﹣2，﹣1）.