Question

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是BC邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE⊥AD交AD的延長線于E．若AC=6，BC=8，則$\frac{DE}{AD}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，推出△ACD∽△EDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DE}{AD}=\frac{EF}{AC}$，當(dāng)OE⊥BC時，EF有最大值，根據(jù)勾股定理得到AB=10，由垂徑定理得到BF=$\frac{1}{2}$BC=4，求得EF=2，即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖1，過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，
∵∠C=90°，
∴AC∥EF，
∴△ACD∽△EDF，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{EF}{AC}$，
∵AE⊥BE，
∴A，B，E，C四點(diǎn)共圓，
設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OE，
當(dāng)OE⊥BC時，EF有最大值，
如圖2，∵OE⊥BC，EF⊥BC，
∴EF，OE重合，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴OE=5，∵OE⊥BC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC=4，∴OF=3，∴EF=2，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{EF}{AC}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DE}{AD}$的最大值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，知道當(dāng)OE⊥BC時，EF有最大值是解題的關(guān)鍵．