Question

如圖，Rt△ABC中∠C=90°、∠A=30°，在AC邊上取點(diǎn)O畫圓使⊙O經(jīng)過A、B兩點(diǎn)。
（1）求證：以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切；
（2）下列結(jié)論正確的序號是 _________ ．（少選酌情給分，多選、錯均不給分）
①AO=2CO；
②AO=BC；
③延長BC交⊙O與D，則A、B、D是⊙O的三等分點(diǎn)；
④圖中陰影面積為：．

Answer 1

解：（1）連接OB，
∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABO=∠OBC=30°，
∴點(diǎn)O在∠ABC的角平分線上，
∴點(diǎn)O到直線AB的距離等于OC的長，即以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切；
（2）連接OB，
∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=OB=OA，
即OA=2OC，故①正確；
∵cos∠OBC=，
∴BC=OB，
即BC=OA，
故②錯誤；延長BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD=AB，
∴△ABD為等邊三角形，
∴==，
∴點(diǎn)A、B、D將?O的三等分，
故③正確；連接OD，
則陰影部分的面積=直角三角形ODC的面積+扇形AOD的面積=，
故④正確；故答案為①③④．