Question

如圖AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C．
（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的長(zhǎng)；
（2）若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°；
又∵AB=2，∠P=30°，
∴AP===2，即AP=2；
（2）證明：如圖，連接OC，OD、AC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
∴∠ACP=90°；

又∵D為AP的中點(diǎn)，
∴AD=CD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）；
在△OAD和△OCD中，，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；
又∵AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，
∴AB⊥AP，
∴∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，
即直線CD是⊙O的切線．