Question

16．如圖，在△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，D為AB的中點，點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．
（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，則1秒后，△BPD與△CQP是否全等？請說明理由；
（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，則當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）求出BP、CQ、CP，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）設(shè)當(dāng)點Q的運動速度為x厘米/時，時間是t小時，能夠使△BPD與△CQP全等，求出BD=5厘米，BP=3t厘米，CP=（8-3t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP全等，
理由是：∵AB=AC=10厘米，點D為AB的中點，
∴∠B=∠C，BD=5厘米，
∵BP=CQ=3t厘米=3厘米，
∴CP=8厘米-3厘米=5厘米=BD，
在△DBP和△PCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CP}\\{∠B=∠C}\\{PB=CQ}\end{array}\right.$，
∴△DBP≌△PCQ（SAS）；

（2）設(shè)當(dāng)點Q的運動速度為x厘米/時，時間是t小時，能夠使△BPD與△CQP全等，
∵BD=5厘米，BP=3t厘米，CP=（8-3t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，
∴當(dāng)BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ時，△BPD與△CQP全等，
即①3t=xt，5=8-3t，
解得：x=3（不合題意，舍去），
②3t=8-3t，5=xt，
解得：x=$\frac{15}{4}$，
即當(dāng)點Q的運動速度為$\frac{15}{4}$厘米/時時，能夠使△BPD與△CQP全等．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，用了分類討論思想．