Question

在△ABC中，AB=AC，AD和CE是高，它們所在的直線相交于H．
（1）若∠BAC=45°（如圖①），求證：AH=2BD；
（2）若∠BAC=135°（如圖②），（1）中的結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出圖形并證明你的結(jié)論．

Answer 1

證明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD．
∵CE⊥AB，∠BAC=45°，
∴∠ECA=45°．
∴AE=CE．
又AD⊥BC，CE⊥AB，
可得∠EAH=∠ECB，
在△AEH和△CEB中，

∠EAH=∠ECB AE=CE ∠AEH=∠BEC

∴△AEH≌△CEB（ASA）．
∴AH=BC．
∴AH=2BD．

（2）答：（1）中結(jié)論依然成立．
所畫(huà)圖形如圖所示．延長(zhǎng)BA交HC于E．
∵∠BAC=135°，
∴∠CAE=45°．
∵AE⊥HC，
∴∠ACE=∠CAE=45°．
∴AE=CE．
∵HD⊥BC，BE⊥HC，
可得∠B=∠H．
在Rt△BEC和Rt△HEA中，

∠B=∠H ∠EC=∠HEA CE=AE

∴Rt△BEC≌Rt△HEA（AAS）．
∴AH=BC．
又BC=2BD，
∴AH=2BD．