Question

20．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，取EF的中點G，連接CG，BG，BD，DG，下列結(jié)論：
①BE=CD；
②∠DGF=135°；
③△BEG≌△DCG；
④∠ABG+∠ADG=180°；
⑤若$\frac{AB}{AD}$=$\frac{2}{3}$，則3S_△BDG=13S_△DGF．
其中正確的結(jié)論是①③④⑤．（請?zhí)顚懰�有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，再由角平分線的性質(zhì)可得出∠BAE=45°，通過角的計算即可得出∠BAE=∠BEA，從而得出AB=BE=CD，即①正確；②根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對頂角相等可得出△CEF為等腰直角三角形，由此得出∠CGF=90°，∠FCG=45°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出∠CGD＜45°，再由角的關(guān)系即可得出∠DGF=∠CGD+∠CGF＜135°，即②不正確；③通過角的計算可得出∠BEG=∠DCG，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出CG=EG，由此即可利用全等三角形的判定定理（SAS）證出△BEG≌△DCG，即③正確；④由③可得出∠EBG=∠CDG，根據(jù)角的計算即可得出∠ABG+∠ADG=180°，即④正確；⑤過點G作GM⊥DF于點M，設(shè)AB=2a（a＞0），則AD=3a，利用分割圖形求面積法結(jié)合三角形的面積公式可算出S_△BDG和S_△DGF的值，由此可得出⑤正確．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，
∵AE是∠BAD的角平分線，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠AEB=90°-∠BAE=45°=∠BAE，
∴BE=AB=CD，①正確；
②∵AB∥CD，
∴∠CFE=∠BAE=45°，∠CEF=∠AEB=45°，
∴△CEF為等腰直角三角形，
∵點G為EF的中點，
∴CG⊥EF，∠CGF=90°，∠FCG=45°，
∵∠FCG=∠CGD+∠CDG=45°，
∴∠CGD＜45°，
∴∠DGF=∠CGD+∠CGF＜45°+90°=135°，②不正確；
③∵△CEF為等腰直角三角形，
∴CG=EG．
∵∠BEG=180°-∠CEF=135°，∠DCG=180°-∠FCG=135°，
∴∠BEG=∠DCG，
在△BEG和△DCG中，有$\left\{\begin{array}{l}{BE=DC}\\{∠BEG=∠DCG}\\{EG=CG}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△DCG（SAS），③正確；
④∵△BEG≌△DCG，
∴∠EBG=∠CDG，
∵∠ABG=∠ABC+∠EBG，∠ADG=∠ADC-∠CDG，
∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠ADC=180°，④正確；
⑤過點G作GM⊥DF于點M，如圖所示．
∵$\frac{AB}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴設(shè)AB=2a（a＞0），則AD=3a．
∵∠DAF=45°，∠ADF=90°，
∴△ADF為等腰直角三角形，
∴DF=AD=3a．
∵△CGF為等腰直角三角形，
∴GM=CM=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$（DF-CD）=$\frac{1}{2}$a，
∴S_△DGF=$\frac{1}{2}$DF•GM=$\frac{1}{2}$×3a×$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{4}{a}^{2}$．
S_△BDG=S_△BCD+S_梯形BGMC-S_△DGM=$\frac{1}{2}$×2a×3a+$\frac{1}{2}$×（3a+$\frac{1}{2}$a）×$\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a×（2a+$\frac{1}{2}$a）=$\frac{13}{4}{a}^{2}$．
∴3S_△BDG=13S_△DGF，⑤正確．
綜上可知：正確的結(jié)論有①③④⑤．
故答案為：①③④⑤．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的面積公式以及角的計算，解題的關(guān)鍵是逐條分析5個結(jié)論是否正確．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，好在該題為填空題，好多結(jié)論可以直接拿來運用，不需去證明．解決該題型時，利用分割圖形法求面積是難點，此處應(yīng)該加以重視．