Question

已知直角梯形OABC在如圖所示的平面直角坐標系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，動點M從A點出發(fā)，以每秒一個單位長度的速度沿AB向點B運動，同時動點N從C點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿CO向O點運動，當其中一個動點運動到終點時，兩個動點都停止運動。
（1）求B點坐標；
（2）設運動時間為t秒；
①當t為何值時，四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半；
②當t為何值時，四邊形OAMN的面積最小，并求出最小面積；
③若另有一動點P，在點M、N運動的同時，也從點A出發(fā)沿AO運動，在②的條件下，PM+PN的長度也剛好最小，求動點P的速度。

Answer 1

解：（1）作BD⊥OC于D，則四邊形OABD是矩形， ∴OD=AB=10， ∴CD=OC-OD=12， ∴OA=BD==9， ∴B（10，9）； （2）①由題意知：AM=t，ON=OC-CN=22-2t， ∵四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半， ∴， ∴t=6； ②設四邊形OAMN的面積為S，則， ∵0≤t≤10，且s隨t的增大面減小， ∴當t=10時，s最小，最小面積為54； ③如備用圖，取N點關于y軸的對稱點N′，連結MN′交AO于點P， 此時PM+PN=PM+PN′=MN長度最小。 當t=10時，AM=t=10=AB，ON=22-2t=2， ∴M（10，9），N（2，0）， ∴N′（-2，0）， 設直線MN′的函數關系式為y=kx+b， 則，解得， ∴P（0，）， ∴AP=OA-OP=， ∴動點P的速度為個單位長度/ 秒。