Question

如圖，三內角皆小于120°的三角形，分別以AB，BC，CA為邊，向三角形外側做正三角形ABD，ACE，BCF，然后連接AF，BE，CD，這三線交于一點O，那么下列結論中
①△ADC≌△ABE； ②△AMD∽△OMB； ③cos∠COE=

1

2

；④∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°
正確的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

專題：壓軸題

分析：根據全等三角形的判定方法和相似三角形的判定方法以及等邊三角形的性質逐項分析即可．

解答：解：①∵△ADB，△AEC是等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠EAB=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△ADC≌△ABE，故①正確；
②∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠AMD=∠OMB，
∴△AMD∽△OMB，故②正確；
③∵△AMD∽△OMB，
∴∠DAM=∠BOM=60°，
∴∠COE=∠BOM=60°，
∴cos∠COE=

1

2

，故③正確；
④由③可知：∠COE=∠BOM=60°，
∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，故④正確；
故選D．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質以及60度角的銳角三角函數值，題目的解答環(huán)環(huán)相扣，題目設計新穎獨特．