Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結(jié)CF．

（1）當(dāng)∠AOB=30°時，求弧AB的長度；

（2）當(dāng)DE=8時，求線段EF的長；

（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此

時點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）連結(jié)BC,

∵A（10，0）, ∴OA=10 ,CA=5,

∵∠AOB=30°,

∴∠ACB=2∠AOB=60°,

∴弧AB的長=;    ……4分

（2）連結(jié)OD,

∵OA是⊙C直徑,  ∴∠OBA=90°,

又∵AB=BD,

∴OB是AD的垂直平分線,

∴OD=OA=10,

在Rt△ODE中，

OE=,

∴AE=AO－OE=10-6=4,

由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA,

∴,即，∴EF=3；

（3）設(shè)OE=x，

①當(dāng)交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角

形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

當(dāng)∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC

中點，即OE=，

∴E₁（，0）；

當(dāng)∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x, AE=10-x，

∴CF∥AB,有CF=,

∵△ECF∽△EAD,

∴,即,解得：,

∴E₂（，0）;

②當(dāng)交點E在點C的右側(cè)時，

∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

連結(jié)BE，

∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，

∴BE=AB=BD,

∴∠BEA=∠BAO,

∴∠BEA=∠ECF,

∴CF∥BE,   ∴,

∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED,  ∴,

而AD=2BE,     ∴,

即,  解得, ＜0（舍去），

∴E₃（，0）;

③當(dāng)交點E在點O的左側(cè)時，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF .

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO

連結(jié)BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA,

∴CF∥BE,

∴,

又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED,  ∴，

而AD=2BE,     ∴,

∴,    解得, ＜0（舍去）,

∵點E在x軸負半軸上,  ∴E₄（，0）,

綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,此時點E坐標(biāo)為：

（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．