Question

13．如圖，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）經(jīng)過Rt△OMN斜邊上的點(diǎn)A，與直角邊MN相交于點(diǎn)B，已知OA=2AN，△OAB的面積為10，則k的值是24．

Answer 1

分析 過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，則AC∥MN，故可得出△OAC∽△OMN，由相似三角形的性質(zhì)可知OC：OM=AC：MN=OA：ON，再由OA=2AN可知OA：ON=2：3，設(shè)A（a，b），可用a、b表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)B（$\frac{3}{2}$a，y），點(diǎn)A與點(diǎn)B都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上可用a、b表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，再由OA=2AN，△OAB的面積是5可得出△NAB的面積，△ONB的面積，故可得出ab的值，進(jìn)而得出k的值．

解答 解：過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，則AC∥MN，
∴△OAC∽△OMN，
∴OC：OM=AC：MN=OA：ON，
∵OA=2AN，即OA：ON=2：3，
∵設(shè)A（a，b），
∴OC=a，AC=b，
∴OM=$\frac{3}{2}$a，MN=$\frac{3}{2}$b，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$a，$\frac{3}{2}$b），
設(shè)點(diǎn)B（$\frac{3}{2}$a，y），
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=ab=$\frac{3}{2}$a•y，
∴y=$\frac{2}{3}$b，即B（$\frac{3}{2}$a，$\frac{2}{3}$b），
∵OA=2AN，△OAB的面積是10，
∴△NAB的面積是5，
∴△ONB的面積=10+5=15，
∴$\frac{1}{2}$NB•OM=15，$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$b-$\frac{2}{3}$b）×$\frac{3}{2}$a=15，
∴ab=24，
∴k=24．
故答案為：24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識(shí)，難度適中．