Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y₁=ax²-4ax-4的頂點(diǎn)在x軸上，直線l：y₂=-x+5與x軸交于點(diǎn)A．
（1）求拋物線C₁：y₁=ax²-4ax-4的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)B是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，0）．過點(diǎn)B作直線BD⊥x軸交直線l于點(diǎn)D，交拋物線C₂：y₃=ax²-4ax-4+t 于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為m，設(shè)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為n，求證：m≥n；
（3）在（2）的條件下，若拋物線C₂：y₃=ax²-4ax-4+t 與線段BD有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線解析式確定出對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，最后求出拋物線C₁，
（2）先表示出點(diǎn)E坐標(biāo)，求出m-n，從而判斷出m≥n；
（3）由拋物線C₂與線段BD有公共點(diǎn)，點(diǎn)D要么與點(diǎn)E重合，要么在點(diǎn)E的上方，得到n≥0，從而確定出時(shí)間范圍．

解答 解：（1）∵拋物線C1：y₁=ax²-4ax-4，
∴對(duì)稱軸為x=2，
∵頂點(diǎn)在x軸上，
∴頂點(diǎn)為（2，0），
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=-4a-4=0，
∴a=-1，
∴拋物線C₁：y₁=-x²+4x-4，
（2）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，0），且BD⊥x軸交直線l于點(diǎn)D，
∴D（t，-t+5）
∵直線BD交拋物線C₂于E，
∴E（t，-t²+5t-4），
∵m-n=-t-5-t²+5t-4）=（t-3）²≥0，
∴m≥n，
（3）∵拋物線C₂與線段BD有公共點(diǎn)，
∴E應(yīng)在線段BD上，
由（2）知，點(diǎn)D要么與點(diǎn)E重合，要么在點(diǎn)E的上方，
∴n≥0，
∴-t²+5t-4≥0，
當(dāng)-t²+5t-4=0時(shí)，
∴t=1或t=4，
∴1≤t≤4．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的性質(zhì)，拋物線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，解本題的關(guān)鍵是m與n的大小的比較．