Question

矩形OABC在平面直角坐標系中位置如圖所示，A、c兩點的坐標分別為A（6，0），C（0，3），直線y=-x與BC邊相交于D點．
（1）若拋物線y=ax²-x經過點A，試確定此拋物線的表達式；
（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上取一點E，求出EA+ED的最小值；
（3）設（1）中的拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點P為對稱軸上一動點，以P，O，M為頂點的三角形與△OCD相似，求符合條件的點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²-x經過點A（6，0），
∴將x=6，y=0代入得：0=36a-×6，即a=，
則拋物線解析式為y=x²-x；

（2）直線y=-x與BC邊相交于點D，
將y=-3代入得：x=4，即D（4，-3），
∵點O與點A關于對稱軸對稱，且點E在對稱軸上，
∴EA=EO，
∴EA+ED=ED+EO，
則最小值為AD長為OD==5，
則EA+ED的最小值為5；

（3）拋物線的對稱軸與x軸的交點P₁符合條件，
∵OA∥CB，∴∠P₁OM=∠CDO，
∵∠OP₁M=∠DCO=90°，
∴Rt△P₁OM∽Rt△CDO，
∵拋物線的對稱軸為直線x=3，
∴P₁坐標為（3，0），
過O作OD的垂線，交拋物線的對稱軸于點P₂，
∵對稱軸平行于y軸，
∴∠P₂MO=∠DOC，
∵∠P₂OM=∠DCO=90°，
∴Rt△P₂MO∽Rt△DOC，
∴P₂也符合條件，∠OP₂M=∠ODC，
∴P₁O=CO=3，∠P₂P₁O=∠DCO=90°，
∴Rt△P₂P₁O≌Rt△DCO，
∴P₁P₂=CD=4，
∵點P₂在第一象限，
∴點P₂的坐標為（3，4），
∴符合條件的點P有兩個，分別為P₁（3，0），P₂（3，4）．
分析：（1）由拋物線圖象經過A點，將A坐標代入拋物線解析式求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）由拋物線與x軸的交點A與O關于對稱軸對稱，則OD與對稱軸的交點即為EA+ED取最小值時E的位置，此時EA+ED的最小值為OD的長，由D的坐標即可求出OD的長；
（3）拋物線對稱軸與x軸的交點符號題意，理由為：由BC與AO平行，利用兩直線平行內錯角相等的一對角相等，再由一對直角相等可得出三角形OP₁M與三角形OCD相似，求出此時P₁的坐標；過O作OD的垂線，交拋物線的對稱軸于點P₂，此時由拋物線對稱軸與y軸平行，得到一對內錯角相等，再由一對直角相等得到三角形P₂MO與三角形DOC相似，由相似三角形對應角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且OP₁=OC=3，利用AAS得到三角形P₁P₂O與三角形OCD全等，由全等三角形對應邊相等得到P₁P₂=CD=4，再由P2屬于第一象限，即可求出此時P₂的坐標，綜上，得到滿足題意的P的坐標．
點評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：平行線的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，對稱的性質，待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，最后一問注意P點坐標要找全．