Question

求代數(shù)式

9x2+4

+

9x2-12xy+4y2+1

+＜“m“：math dsi：zoomscale=150 dsi：_mathzoomed=1＞4y2-16y+20

4y2-16y+20

的最小值．

Answer 1

考點：無理函數(shù)的最值

專題：

分析：根據(jù)題意轉(zhuǎn)化得出要使

9x2+4

+

9x2-12xy+4y2+1

+

4y2-16y+20

最小，只要求出直線AB，AC，CD的長度之和最小即可，進(jìn)而得出x，y的值代入求出即可．

解答：解：首先

9x2+4

可以看成是坐標(biāo)軸上（0，3）與（3x，1）兩點的距離，

9x2-12xy+4y2+1

可以化為：

(3x-2y)2+(1-0)2

，
則可看成是（3x，1）與（2y，0）的距離，最后一個可以化為：

(2y-4)2+(0-2)2

，則為：（2y，0）與（4，2）的距離，
如圖：要使

9x2+4

+

9x2-12xy+4y2+1

+

4y2-16y+20

的和最小，只要求出直線AB，AC，CD的長度之和最小即可，
根據(jù)A，C坐標(biāo)可知點C在x軸上，點A在y=1上，作D關(guān)于x軸的對稱點D′，連接BD′，與x軸的交點就是C點與y=1的交點就是A點，
∵D（4，2），B（0，3），
∴D′（4，-2），
可求出直線BD′的解析式為：y=-

5

4

t+3，
當(dāng)y=0時，t=

12

5

，
C（

12

5

，0），
∵y=1時，t=

8

5

，
∴A（

8

5

，1），
∵C（2y，0），A（3x，1），
∴x=

8

15

，y=

6

5

，
∴

9x2+4

+

9x2-12xy+4y2+1

+

4y2-16y+20

=

9×( 8 15 )2+4

+

9×( 8 15 )2-12× 8 15 × 6 5 +4×( 6 5 )2+1

+

4×( 6 5 )2-16× 6 5 +20

=

2 41

5

+

41

5

+

2 41

5

=

41

∴代數(shù)式

9x2+4

+

9x2-12xy+4y2+1

+

4y2-16y+20

的最小值為：

41

．

點評：此題主要考查了無理函數(shù)最值求法，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合得出x，y的值是解題關(guān)鍵．