Question

已知如圖：梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，BD=b，CD=c，且∠DBC=∠A；
求證：方程ax²+2bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析：由相似三角形△ABD∽△BDC的對(duì)應(yīng)邊成比例知b²=ac．則方程ax²+2bx+c=0的根的判別式△=0，即方程ax²+2bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

解答：證明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD．
又∵∠DBC=∠A，
∴△ABD∽△BDC，
∴

AB

BD

=

BD

DC

，即

a

b

=

b

c

，
∴b²=ac，即b²-ac=0．
∵方程ax²+2bx+c=0的根的判別式△=4b²-4ac=4a（b²-ac）=0，
∴方程ax²+2bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、根的判別式．在利用相似三角形的相似邊成比例時(shí)，一定要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊．