Question

8．如圖，正方形ABCD，△DCE是等邊三角形，AC、BD交于點(diǎn)O，AE交BD于點(diǎn)F．
（1）求∠AED的度數(shù)；
（2）若OF=1，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)證明△ADE是等腰三角形，即可求出∠DAE=∠DEA．
（2）求出∠OAF=30°，在RT△OAF中利用30度角性質(zhì)，即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，△CDE是等邊三角形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，DC=DE，∠CDE=∠DEC=60°，∠DAC=45°，AC⊥BD，
∴AD=DE，∠ADE=90°+60°=150°，∠AOD=90°，
∴∠DAE=∠DEA=$\frac{1}{2}$（180°-150°）=15°，
∴∠AED=15°．
（2）由（1）可知∠OAF=45°-15°=30°，
∴AF=2OF，
∵OF=1，
∴AF=2，AO=$\sqrt{A{F}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AO=OB=$\sqrt{3}$，
在RT△AOB中，∵∠AOB=90°，∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定方法；根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)弄清各個角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．