Question

如圖，已知拋物線與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（-1,0），O是坐標原點，且.點E為線段BC上的動點（點E不與點B，C重合），以E為頂點作，射線ET交線段OB于點F.

(1) 求出此拋物線函數(shù)表達式，并直接寫出直線BC的解析式；

(2)求證：；

(3)當為等腰三角形時，求此時點E的坐標；

(4)點P為拋物線的對稱軸與直線BC的交點，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以點A、M、N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）y=x²－x－3 （2）通過角的等量代換證明角相等（3）或者

（4）M為

【解析】

試題分析：解：（1）OC=3OA=3

∴C為（0，－3）

∵拋物線過（－1，0）和（0，－3）

∴y=x²－x－3

BC：y=x－3

（2）∵OB=OC=3

∴∠OCB=∠OBC=45°

又∵∠OEF＋∠BEF=∠COE＋∠OCB

且∠OEF=45°

∴∠BEF=∠COE．

（3）①∵∠OFE=∠BEF＋∠OBC＞45°

∴∠OFE＞∠OEF

∴OE＞OF即OE≠OF．

②當OE=EF時，

∠BEF=∠COE，∠OCE=∠EBF

∴△COE≌△BEF（AAS）

∴BE=CO=3．

過E作ED ⊥x軸于D．

③當OF=EF時，則∠FOE=∠OEF=45°

∴∠OFE=90°．∴EF⊥OB．

∴E為BC的中點，∴E為．

（4）對稱軸為x=1，

∴P為（1，－2）．

①AP為邊，

此時P點縱坐標為2或－2，

令x²－2x－3=2

即x²－2x－5=0

故

令x²－2x－3=－2

即x²－2x－1=0

或

故或

②AP為對角線，

設(shè)M為（x，0）

則N為（－x，－2）

∴x²＋2x－3=－2

x²＋2x－1=0

綜上所述：M為．

考點：二次函數(shù)解析式以及與幾何圖形相結(jié)合

點評：該題較為復(fù)雜，主要考查學(xué)生對求二次函數(shù)解析式方法的掌握，以及在直角坐標系中分析函數(shù)與直線所都成幾何圖形點的坐標，需要考慮全面，分點論述。