Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，6）．動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑作⊙P，與x軸正半軸交于點(diǎn)E，與y軸另一交點(diǎn)為B，作∠CBA=α，交⊙P于點(diǎn)C，C在y軸左側(cè)，作CD⊥y軸，垂足為D，連結(jié)AC．
（1）如圖1，當(dāng)P（1，0），α=30°時(shí)，求AC的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)tanα=$\frac{2}{3}$，且△CDA是兩直角邊之比為1：2的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)C在第三象限（如圖2），連結(jié)PC，PD，當(dāng)α=45°時(shí)．設(shè)⊙P的半徑為x，△CDP的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接PC．只要證明△APC是等邊三角形即可解決問題．
（2）分兩種情形討論①如圖2中，當(dāng)CD=2AD時(shí)，延長(zhǎng)CD交⊙P于F，作PH⊥CD于H．②如圖3中，當(dāng)AD=2CD時(shí)，延長(zhǎng)CD交⊙P于F，作PH⊥CD于H．分別求解即可．
（3）如圖4中，連接PC、PD，作PH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H．由△AOP≌△CHP，推出OP=PH，OA=CH=3，易證四邊形OPHD是正方形，PO=PH=OD=DH=$\sqrt{{x}^{2}-9}$，根據(jù)S_△PCD=$\frac{1}{2}$•CD•PH計(jì)算即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，連接PC．

∵∠APC=2∠ABC，∠ABC=30°，
∴∠APC=60°，
∵PA=PC，
∴△APC是等邊三角形，
在Rt△APO中，PA=$\sqrt{O{A}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
∴AC=AP=$\sqrt{37}$．

（2）①如圖2中，當(dāng)CD=2AD時(shí)，延長(zhǎng)CD交⊙P于F，作PH⊥CD于H．

設(shè)AD=a，則CD=2a，BD=3a，AB=4a，
∴4a=12，
∴a=3，
∴CD=6，AD=3，DB=9，
∵AD•DB=CD•DF，
∴DF=$\frac{AD•DB}{CD}$=$\frac{9}{2}$，
∴CF=CD+DF=$\frac{21}{2}$，
∵PH⊥CF，
∴CH=HF=$\frac{21}{4}$，
∴DH=CD-CH=6-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴P（-$\frac{3}{4}$，0）．

②如圖3中，當(dāng)AD=2CD時(shí)，延長(zhǎng)CD交⊙P于F，作PH⊥CD于H．

設(shè)AD=4a，則CD=2a，BD=3a，AB=7a，
∴7a=12，
∴a=$\frac{12}{7}$，
∴CD=$\frac{24}{7}$，AD=$\frac{48}{7}$，DB=$\frac{36}{7}$，
∵AD•DB=CD•DF，
∴DF=$\frac{AD•DB}{CD}$=$\frac{72}{7}$，
∴CF=CD+DF=$\frac{96}{7}$，
∵PH⊥CF，
∴CH=HF=$\frac{48}{7}$，
∴DH=CH-CD=$\frac{48}{7}$-6=$\frac{6}{7}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{6}{7}$，0）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-$\frac{3}{4}$，0）或（$\frac{6}{7}$，0）．

（3）如圖4中，連接PC、PD，作PH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H．

∵∠CBD=45°，
∴∠APC=2∠ABC=90°，
∴∠APC=∠OPH，
∴∠APO=∠CPH，∵PA=PC，∠AOP=∠PHC，
∴△AOP≌△CHP，
∴OP=PH，OA=CH=3，易證四邊形OPHD是正方形，
∴PO=PH=OD=DH=$\sqrt{{x}^{2}-9}$，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$•CD•PH=$\frac{1}{2}$•（3-$\sqrt{{x}^{2}-9}$）•$\sqrt{{x}^{2}-9}$=$\frac{3}{2}$•$\sqrt{{x}^{2}-9}$-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$•$\sqrt{{x}^{2}-9}$+$\frac{9}{2}$．（6＜x＜6$\sqrt{2}$）．
（自變量的取值范圍的確定，主要考慮⊙P與直線y=-x-6在第三象限有交點(diǎn)即可）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、相交弦定理．全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．