Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點P（0，4），點A在線段OP上，點B在x軸正半軸上，且AP=OB=t， 0＜t＜4，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD；過點C、D依次向x軸、y軸作垂線，垂足為M，N，設(shè)過O，C兩點的拋物線為y=ax2+bx+c．

（1）填空：△AOB≌△ ≌△BMC（不需證明）；用含t的代數(shù)式表示A點縱坐標：A（0， ；

（2）求點C的坐標，并用含a，t的代數(shù)式表示b；

（3）當t=1時，連接OD，若此時拋物線與線段OD只有唯一的公共點O，求a的取值范圍；

（4）當拋物線開口向上，對稱軸是直線，頂點隨著t的增大向上移動時，求t的取值范圍．

 

 

Answer 1

（1）DNA或△DPA；；（2）C（4，t），；（3）a＞0或a＜或＜a＜0；（4）

0＜t≤．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得：△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC；根據(jù)圖中相關(guān)線段間的和差關(guān)系來求點A的坐標：

∵∠DNA=∠AOB=90°，∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．

在△AOB與△DNA中，∵，∴△AOB≌△DNA（SAS）.

同理△DNA≌△BMC.

∵點P（0，4），AP=t，∴．

（2）利用（1）中的全等三角形的對應(yīng)邊相等易推知：OM=OB+BM=t+=4，則C（4，t）．把點O、C的坐標分別代入拋物線y=ax2+bx+c可以求得確.

（3）利用待定系數(shù)法求得直線OD的解析式．與拋物線聯(lián)立方程組，解得x=0或．

對于拋物線的開口方向進行分類討論，即a＞0和a＜0兩種情況下的a的取值范圍.

（4）根據(jù)拋物線的解析式得到頂點坐標是．結(jié)合已知條件求得a=，故頂點坐標為．由拋物線的性質(zhì)知：只與頂點坐標有關(guān)，故t的取值范圍為：0＜t≤．

試題解析：【解析】
（1）DNA或△DPA；.

（2）由題意知，NA=OB=t，則OA= ．

∵△AOB≌△BMC，∴CM=OB=t. ∴OM=OB+BM=t+=4. ∴C（4，t）．

又拋物線y=ax2+bx+c過點O、C，

∴，解得.

（3）當t=1時，拋物線為，NA=OB=1，OA=3．

∵△AOB≌△DNA，∴DN=OA=3.

∵D（3，4），∴直線OD為：．

聯(lián)立方程組，得，消去y，得，

解得，x=0或.

所以，拋物線與直線OD總有兩個交點．

討論：①當a＞0時，＞3，只有交點O，所以a＞0符合題意；

②當a＜0時，若＞3，則a＜；

若＜0，則得a＞．∴＜a＜0．

綜上所述，a的取值范圍是a＞0或a＜或＜a＜0．

（4）∵拋物線為，∴頂點坐標是．

又∵對稱軸是直線x=，∴a=.

∴頂點坐標為：，即．

∵拋物線開口向上，且隨著t的增大，拋物線的頂點向上移動，

∴只與頂點坐標有關(guān)，∴t的取值范圍為：0＜t≤．

考點：1.二次函數(shù)綜合題；2.線動平移問題；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.待定系數(shù)法的應(yīng)用；5.曲線上點的坐標與方程的關(guān)系；6.二次函數(shù)的性質(zhì)；7.平移的性質(zhì)；8.分類思想的應(yīng)用．