Question

問題背景：
（1）如圖（1），AD是△ABC的中線，將△ABD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到△EFD．已知△ABC的面積為6，依題意填空：①∠ADC+∠EDF的度數(shù)為

 

；②△EFD的面積為

 

；
探究發(fā)現(xiàn)：
（2）如圖（2），在△ABC和△BDE中，∠ABC+∠DBE=180°，且BA=BD，BC=BE．設(shè)△ABC的面積為S₁，△BDE的面積為S₂，求證：S₁=S₂；
遷移運用：
（3）如圖（3），以Rt△ABC（∠ACB=90°）的三邊為邊長分別向外作正方形ABDE、BCGF、ACHM，連接DF、EM、GH．已知AB=5，BC=3，求六邊形DEMHGF的面積．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角形的面積,勾股定理

專題：閱讀型

分析：（1）由AD是△ABC的中線得到CD=BD，則根據(jù)根據(jù)三角形面積公式得S_△ABD=S_△ACD=

1

2

S_△ABC=3，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ABD≌△EFD，∠ADB=∠EDF，則S_△EFD=S_△ABD=3，加上∠ADB+∠ADC=180°，所以∠EDF+∠ADC=180°．
（2）由于BD=BA，則可把△BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABE′，如圖（2），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得則BE=BE′，∠ABE′=∠DBE，由于BC=BE，∠ABC+∠DBE=180°，則BC=BE′，∠ABC+∠ABE′=180°，于是可判斷點E′、B、C共線，然后根據(jù)三角形面積公式即可得到S₁=S₂；
（3）先根據(jù)勾股定理計算出AC=4，再利用四邊形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°，BD=BA，AM=AC，CBN=CG，可計算出S_{正方形ABDE}=5²=25，S_{正方形ACHM}=4²=16，S_{正方形BCGF}=3²=9，利用周角的定義可計算出∠DBF+∠ABC=180°，∠MAE+∠BAC=180°，∠ACB+∠HCG=180°，于是利用（2）的結(jié)論可得S_△DBF=S_△ABC，S_△MAE=S_△ABC，S_△HCG=S_△ABC，然后把六邊形DEMHGF內(nèi)的各部分的面積相加即可．

解答：（1）解：∵AD是△ABC的中線，
∴CD=BD，
∴S_△ABD=S_△ACD=

1

2

S_△ABC=

1

2

×6=3，
∵△ABD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到△EFD，
∴△ABD≌△EFD，∠ADB=∠EDF，
∴S_△EFD=S_△ABD=3，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠EDF+∠ADC=180°．
故答案為180°，3；
（2）證明：∵BD=BA，
∴把△BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABE′，如圖（2）
，
則BE=BE′，∠ABE′=∠DBE，
∵BC=BE，∠ABC+∠DBE=180°，
∴BC=BE′，∠ABC+∠ABE′=180°，
∴點E′、B、C共線，
∴S₁=S₂；
（3）解：如圖（3），
在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=3，
∴AC=

AB2-BC2

=4，
∵四邊形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形，
∴∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°，BD=BA，AM=AC，CBN=CG，S_{正方形ABDE}=5²=25，S_{正方形ACHM}=4²=16，S_{正方形BCGF}=3²=9，
∴∠DBF+∠ABC=180°，∠MAE+∠BAC=180°，∠ACB+∠HCG=180°，
由（2）的結(jié)論得S_△DBF=S_△ABC，S_△MAE=S_△ABC，S_△HCG=S_△ABC，
∴S_△DBF=S_△MAE=S_△HCG=S_△ABC=

1

2

×3×4=6，
∴六邊形DEMHGF的面積=25+16+9+4×6=74．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了三角形面積和勾股定理．