Question

（2012•撫順一模）如圖，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上的一點(diǎn)，P是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，直線PE經(jīng)過(guò)點(diǎn)D且∠PDA=∠PBD．
（1）判斷直線PD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如果∠BDE=60°，PD=

3

，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接OD．直線PD與⊙O相切．欲證明直線PD與⊙O相切，只需證明PD⊥OD；
（2）S_陰影=S_扇形ODB-S_△ODB．

解答：解：（1）直線PD與⊙O相切．理由如下：
如圖，連接OD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠2+∠3=90°．
又∵OB=OD，
∴∠1=∠3．
∵∠PDA=∠PBD，即∠PDA=∠1，
∴∠2+∠PDA=90°，即PD⊥OD．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴直線PD與⊙O相切．

（2）∵由（1）知，直線PD與⊙O相切，
∴∠DOB=2∠BDE=120°，
∴∠POD=60°，
又∵∠PDO=90°，PD=

3

，
∴OD=PD•cot60°=1．
∴S_陰影=S_扇形ODB-S_△ODB=

120π•12

360

-

1

2

×1×1×sin120°=

4π-3 3

12

，即陰影部分的面積是

4π-3 3

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算．解題時(shí)，利用了弦切角定理--弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．