Question

如圖，拋物線y=ax²+b與x軸交于點A、B，且A點的坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，1）．

（1）求拋物線的解析式，并求出點B坐標；

（2）過點B作BD∥CA交拋物線于點D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長；（結(jié)果保留根號）

（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，過點P作PE垂直于x軸，垂足為點E，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似？若存在請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，點B坐標可由對稱性質(zhì)得到，或令y=0，由解析式得到；

（2）關(guān)鍵是求出點D的坐標，然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個邊的長度；

（3）本問為存在型問題．可以先假設(shè)存在，然后按照題意條件求點P的坐標，如果能求出則點P存在，否則不存在．注意三角形相似有兩種情形，需要分類討論．

解答：

解：（1）∵點A（1，0）和點C（0，1）在拋物線y=ax²+b上，

∴，解得：a=﹣1，b=1，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+1，

拋物線的對稱軸為y軸，則點B與點A（1，0）關(guān)于y軸對稱，∴B（﹣1，0）．

（2）設(shè)過點A（1，0），C（0，1）的直線解析式為y=kx+b，可得：

，解得k=﹣1，b=1，∴y=﹣x+1．

∵BD∥CA，∴可設(shè)直線BD的解析式為y=﹣x+n，

∵點B（﹣1，0）在直線BD上，∴0=1+n，得n=﹣1，

∴直線BD的解析式為：y=﹣x﹣1．

將y=﹣x﹣1代入拋物線的解析式，得：﹣x﹣1=﹣x²+1，解得：x₁=2，x₂=﹣1，

∵B點橫坐標為﹣1，則D點橫坐標為2，

D點縱坐標為y=﹣2﹣1=﹣3，∴D點坐標為（2，﹣3）．

如答圖①所示，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN=3，AN=1，BN=3，

在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；

在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；

又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC=；

∴四邊形ABCD的周長為：AC+BC+BD+AD=+++=+．

（3）假設(shè)存在這樣的點P，則△BPE與△CBD相似有兩種情形：

（I）若△BPE∽△BDC，如答圖②所示，

則有，即，∴PE=3BE．

設(shè)OE=m（m＞0），則E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，

∴點P的坐標為（﹣m，3﹣3m）．

∵點P在拋物線y=﹣x²+1上，

∴3﹣3m=﹣（﹣m）²+1，解得m=1或m=2，

當(dāng)m=1時，點E與點B重合，故舍去；當(dāng)m=2時，點E在OB左側(cè)，點P在x軸下方，不符合題意，故舍去．

因此，此種情況不存在；

（II）若△EBP∽△BDC，如答圖③所示，

則有，即，∴BE=3PE．

設(shè)OE=m（m＞0），則E（m，0），BE=1+m，PE=BE=（1+m）=+m，

∴點P的坐標為（m， +m）．

∵點P在拋物線y=﹣x²+1上，

∴+m=﹣（m）²+1，解得m=﹣1或m=，

∵m＞0，故m=1舍去，∴m=，

點P的縱坐標為： +m=+×=，

∴點P的坐標為（，）．

綜上所述，存在點P，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似，點P的坐標為（，）．

點評：

本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等重要知識點．第（2）問的解題要點是求出點D的坐標，第（3）問的解題要點是分類討論．