Question

5．如圖，PB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，過B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)A，連接PA，AO，并延長AO交⊙O于點(diǎn)E，與PB的延長線交于點(diǎn)D．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若$\frac{OC}{AC}$=$\frac{3}{4}$且OC=3，求PA的長和tanD的值．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由SSS證明△PAO≌△PBO，得出∠PAO=∠PBO=90°即可；
（2）連接BE，證明△BED∽△POD，證出OC是△ABE的中位線，由三角形中位線定理得出BE=2OC，由△PBC∽△BOC和勾股定理可求出tanD的值．

解答 （1）證明：連接OB，如圖1所示：
∵PB為⊙O的切線，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PAO和△PBO中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PA}\\{OP=OP}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△PBO≌△PAO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PA為⊙O的切線；
（2）解：連接BE，如圖2所示：
∵AE是直徑，∠ABE=90°
由（1）知∠ACO=90°
∴BE∥OP，
∴△BED∽△POD，
∴$\frac{DB}{DP}$=$\frac{BE}{OP}$，
∵AC=BC，OA=OE，
∴OC是△ABE的中位線，
∴BE=2OC，
∵OC：AC=3：4，OC=3，
∴AC=4，BE=6．
∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠BOC=∠PBC，
∵∠OCB=∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴$\frac{AC}{OC}$=$\frac{PC}{AC}$，
∴PC=$\frac{16}{3}$，OP=$\frac{25}{3}$，
∴$\frac{DB}{DP}$=$\frac{BE}{OP}$=$\frac{6}{\frac{25}{3}}$=$\frac{18}{25}$，
設(shè)DB=18m，DP=25m，則PB=7m．
∵PA=PB，
∴PA=7m，∴AD=$\sqrt{P{D}^{2}-A{P}^{2}}$=24，
∴tanD=$\frac{PA}{AD}$=$\frac{7}{24}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；熟練掌握切線的判定，能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直角三角形中是解答問題（2）的關(guān)鍵．