Question

已知如圖，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點(diǎn)且∠EAF=45°，求證：EF²=BE²+FC²．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：首先把△ACF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG．連接EG，可得△ACF≌△ABG．進(jìn)而得到AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°，然后再證明△AEG≌△AFE可得EF=EG，再利用勾股定理可得結(jié)論．

解答：證明：把△ACF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG．連接EG．
則△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
在△AEG和△AFE中

AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE

，
∴△AEG≌△AFE（SAS）．
∴EF=EG，
又∠GBE=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明作出輔助線，證明△AEG≌△AFE．