Question

某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．
（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，求此時(shí)△EMN的面積；
（2）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)；
（3）請你探究△EMN的面積S（平方米）有無最大值？若有，請求出這個(gè)最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，MN應(yīng)位于DC下方，且此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米．
∴S△EMN=×2×0.5=0.5（平方米）．即△EMN的面積為0.5平方米．
（2）①如圖1所示，當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)，即0＜x≤1時(shí)，
△EMN的面積S=×2×x=x；
②如圖2所示，當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)，即1＜x＜1+時(shí)，
如圖，連接EG，交CD于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)H，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴F為CD中點(diǎn)，GF⊥CD，且FG=．
又∵M(jìn)N∥CD，
∴△MNG∽△DCG．
∴，即．
故△EMN的面積S=××x=；
綜合可得：S=
（3）①當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，S=x，所以有0＜S≤1；
②當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，S=﹣x²+（1+）x，
因而，當(dāng)（米）時(shí)，
S得到最大值，最大值S===+（平方米）．
∵+＞1，
∴S有最大值，最大值為+平方米．