Question

如圖，y=-

3

4

x+3的圖象與y軸、x軸相交于A、B，點C（m，n）在第二象限，⊙C與直線AB和x軸相切于E、F．
（1）當四邊形OACF是矩形時，求C點坐標；
（2）當⊙C與y軸相切于D時，求⊙C的半徑；
（3）當C在y=-

4

x

圖象上時，求△CAB的面積．

Answer 1

分析：（1）因為直線y=-

3

4

x+3與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，所以分別令x=0，y=0，可求出A（4，0），B（0，3），所以OA=4，OB=3，AB=5，連接CF，當四邊形OBCE為矩形時，有CF=CE=OB=3，CB∥x軸，利用兩直線平行同位角相等可得∠CBF=∠BAO，又因⊙C與直線AB相切于點F，所以CF⊥AB于點F，利用AAS可知△CBF≌△BAO，所以CB=AB=5，即點C的坐標為（-5，3）；
（2）因為點C（m，n）是第二象限內任意一點，以點C為圓心的圓與x軸相切于點E，與直線AB相切于點F，若⊙C與y軸相切于點D，可分別連接CE、CF、CD，則由切線長定理得AF=AE，BF=BD，OD=OE，所以AE=

1

2

（AB+OA+OB）=6，又因由切線性質定理得，CE⊥x軸于點E，CD⊥y軸于點D，所以四邊形CEOD為矩形，又因為CE=CD，所以四邊形CEOD為正方形，所以OE=CE=r=AE-OA=6-4=2；
（3）因為點C（m，n）是第二象限內任意一點，以點C為圓心的圓與x軸相切于點E，與直線AB相切于點F，所以可延長EC交AB于G，連接CF，則CF=CE=n，因為⊙C與x軸相切于點E，所以GE⊥AE于點E，EG∥y軸，∠CGF=∠OBA，所以可證△FCG∽△OAB，利用相似的性質和tan∠EAG=tan∠BAO，即可得到關于m、n的關系式，有因為當C在y=-

4

x

圖象上時，所以可以求出m的值，即AB邊上的高，利用三角形的面積公式即可求出△CAB的面積．

解答：解：（1）如圖1，當x=0時，y=3；當y=0時，x=4
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
連接CF，
當四邊形OBCE為矩形時，有CF=CE=OB=3，CB∥x軸，
∴∠CBF=∠BAO
∵⊙C與直線AB相切于點F，
∴CF⊥AB于點F
∴∠CFB=∠BOA，
又∵CF=OB，
∴△CBF≌△BAO，
∴CB=AB=5，
∴點C的坐標為（-5，3）；

（2）如圖2，連接CE、CF、CD，
∵⊙C與x軸、y軸、AB分別相切于E、D、F，
∴由切線長定理得AF=AE，BF=BD，OD=OE，
∴AE=

1

2

（AB+OA+OB）=6，
由切線性質定理得，CE⊥x軸于點E，CD⊥y軸于點D
∴四邊形CEOD為矩形，
又∵CE=CD，
∴矩形CEOD為正方形，
∴OE=CE=r，
∵OE=AE-OA=6-4=2，
∴⊙C的半徑為2；

（3）如圖1，延長EC交AB于G，連接CF，則CF=CE=n，
∵⊙C與x軸相切于點E，
∴GE⊥AE于點E，
∴EG∥y軸，
∴∠CGF=∠OBA，
又由（1）得∠GFC=∠BOA=90°，
∴△FCG∽△OAB，
∴

CF

OA

=

CG

AB

，
∴CG=

5

4

n，
又∵GE=CG=

5

4

n+n=

9

4

n，
又∵AE=OA+OE=4-m，
∴在Rt△AEG中，tan∠EAG=

GE

AE

=

9 4 n

4-m

，
在Rt△AOB中，tan∠BAO=

OB

OA

=

3

4

，
∴

9 4 n

4-m

=

3

4

，
∴m=4-3n，①
∵C在y=-

4

x

圖象上時，
∴mn=-4②
有①②可得：m₁=-2，m₂=6（舍），
∴S_△ABC=

1

2

×AB×CF=

1

2

×5×2=5，
∴△CAB的面積是5平方單位．

點評：本題考查了切線的性質，正方形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形得有關知識，以及一次函數(shù)圖象的性質和反比例函數(shù)圖象的性質，題目的綜合性很強，難度也很大，解題的關鍵是熟記以上各種圖形的判定和性質．