Question

如圖①，在△ABC中，AD是它的角平分線，P是AD上一點，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求證：D到PE的距離與D到PF的距離相等；
（2）如圖②，若點P在AD的延長線上，其他條件不變，試猜想（1）中的結(jié)論還成立嗎？請證明你的猜想．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先由PE∥AB，PF∥AC，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，可得∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，又由△ABC中，AD是它的角平分線，可得DP平分∠EPF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可證得D到PE的距離與D到PF的距離相等；
（2）若點P在AD的延長線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立，同（1）證明即可．

解答：（1）證明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EPD=∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距離與D到PF的距離相等；

（2）若點P在AD的延長線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立．理由如下：
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EPD=∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距離與D到PF的距離相等．

點評：此題考查了角平分線的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是熟記角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．