Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，E為BC中點，連ED．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）若⊙O半徑為3，ED=4，求AB長？

Answer 1

（1）證明：
方法一：連接OD，OE，CD，
∵∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E是BC的中點，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=90°，
即OD⊥ED，
∴ED與⊙O相切．
方法二：連接OE，OD，
∵E是BC的中點，∠BDC=90°，
∴DE=CE，
又∵OD=OC，OE=OE，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ODE=∠OCE=90°，
即OD⊥ED，
∵D在⊙O上，
∴ED與⊙O相切．

（2）解：∵⊙O半徑為3，即OC=3，ED=4，
∴CE=ED=4，
∴OE==5，
∵E為BC中點，OC=OA，
∴OE為△ACB的中位線，
∴OE=AB，
∴AB=10．
答：AB長為10．
分析：（1）方法一：連接OD，OE，CD，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，求證∠EDC=∠ECD，再根據AC為直徑作⊙O，求證∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=90°即可．
方法二：連接OE，OD，根據E是BC的中點，∠BDC=90°，利用SSS求證△ODE≌△OCE，然后得∠ODE=∠OCE=90°即可．
（2）根據⊙O半徑為3，ED=4，利用勾股定理求得OE的長，再利用三角形中位線定理即可求得AB的長．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質，以及切線的判定，切線的判定常用的方法是利用切線的判定定理轉化為證明垂直的問題．