Question

在正方形ABCD中，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，連接DF，點(diǎn)E為DF中點(diǎn)．連接BE、CE、AE．
（1）求證：△AEB≌△DEC；
（2）當(dāng)EB=BC時(shí)，求∠AFD的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=CD，每一個(gè)角都是直角可得∠BAD=∠ADC=90°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE=EF=DE=

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DF，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠EAD=∠EDA，再求出∠BAE=∠CDE，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EB=EC，再求出△BCE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠EBC=60°，然后求出∠ABE=30°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BAE，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠AFD=∠BAE．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵點(diǎn)E為DF中點(diǎn)，
∴AE=EF=DE=

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DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵∠BAE=∠BAD-∠EAD，∠CDE=∠ADC-∠EDA，
∴∠BAE=∠CDE，
在△AEB和△DEC中，

AB=CD ∠BAE=∠CDE AE=DE

，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；

（2）解：∵△AEB≌△DEC，
∴EB=EC，
∵EB=BC，
∴EB=BC=EC，
∴△BCE是等邊三角形，
∴∠EBC=60°，
∴∠ABE=90°-60°=30°，
∵EB=BC=AB，
∴∠BAE=

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（180°-30°）=75°，
又∵AE=EF，
∴∠AFD=∠BAE=75°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）求出等邊三角形．