Question

數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行線CF于點F，求證：AE=EF．

經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：
（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；
（2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

解：（1）正確． 證明：在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME． ∴BM=BE， ∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵CF是外角平分線， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°， ∴∠AME=∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF． （2）正確． 證明：在BA的延長線上取一點N． 使AN=CE，連接NE． ∴BN=BE， ∴∠N=∠NEC=45°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠FCE=45°， ∴∠N=∠ECF， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD∥BE， ∴∠DAE=∠BEA， 即∠DAE+90°=∠BEA+90°， ∴∠NAE=∠CEF， ∴△ANE≌△ECF（ASA） ∴AE=EF．