Question

15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB上一點，以CD為直徑作⊙O，交AC于點E，連接BE分別交CD和⊙O于點F，G，連接DE，DG，且∠BDG=∠BED．
（1）判斷AB與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若BE平分∠ABC，且CF=$\sqrt{2}$，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明AB是⊙O的切線，只要證明CD⊥AB即可；
（2）設BC交⊙O于Q，作CP⊥EF于P．設EF=a，先證明DE=DB=CQ，設CQ=x，BC=y，由△BDQ∽△BCD，可得BD²=BQ•BC，可得x²=（y-x）y，解得$\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（負根已經(jīng)舍棄），由DE∥BC，可得$\frac{DE}{BC}$=$\frac{EF}{BF}$，推出BF=$\frac{2a}{\sqrt{5}-1}$，由△EPC∽△ECB，可得EC²=EP•EB，列出方程即可解決問題；

解答 解：（1）AB是⊙O的切線，
理由：∵CD為⊙O的直徑，
∴∠CED=90°，
∵∠CEG=∠CDG，∠CEG+∠BED=90°，∠BDG=∠BED，
∴∠CDG+∠BDG=90°，
∴CD⊥AB，
∴AB是⊙O的切線；

（2）設BC交⊙O于Q，作CP⊥EF于P．設EF=a，
∵CD是直徑，
∴∠CED=∠CQD=∠ECQ=90°，
∴四邊形ECQD是矩形，
∴DE=CQ，
∵∠EBD=∠EBC=∠DEB，
∴DE=DB=CQ，設CQ=x，BC=y，
由△BDQ∽△BCD，可得BD²=BQ•BC，
∴x²=（y-x）y，
∴x²+xy-y²=0，
∴（$\frac{x}{y}$）²+（$\frac{x}{y}$）-1=0，
解得$\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（負根已經(jīng)舍棄），
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{EF}{BF}$，
∴BF=$\frac{2a}{\sqrt{5}-1}$，
∵∠CEF+∠DEB=90°，∠DBF+∠DFB=90°，∠CFE=∠DFB，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，∵CP⊥EF，
∴EP=PF=$\frac{a}{2}$，
由△EPC∽△ECB，可得EC²=EP•EB，
∴（$\sqrt{2}$）²=$\frac{a}{2}$•（a+$\frac{2a}{\sqrt{5}-1}$），
解得a=$\sqrt{5}$-1（負根已經(jīng)舍棄），
∴EF=$\sqrt{5}$-1．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、角平分線的定義、矩形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．