Question

從1到100這100個(gè)自然數(shù)中，任意取出51個(gè)數(shù)，其中一定存在兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍．

Answer 1

分析：根根據(jù)抽屜原理：任何一個(gè)自然數(shù)都可以表示成一個(gè)奇數(shù)與2ⁿ和乘積的形式，而且這種表示方法是惟一的．可構(gòu)造50個(gè)抽屜，從而驗(yàn)證了這個(gè)結(jié)論．

解答：證明：由于任何一個(gè)自然數(shù)都可以表示成一個(gè)奇數(shù)與2ⁿ和乘積的形式，而且這種表示方法是惟一的．因此，我們可以按下面的方法來(lái)構(gòu)造50個(gè)抽屜：
{1，1×2，1×2²，，1×2³，1×2⁶}；
{3，3×2，3×2²，3×2³，3×2⁴，3×2⁵}；
{5，5×2，5×2²，5×2³，5×2⁴}；
…；
{49，49×2}；
{51}；
{53}；
…；
{99}．
于是從這50個(gè)抽屜中任取51個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原則，其中一定存在至少兩個(gè)數(shù)屬于同一個(gè)抽屜，即命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道競(jìng)賽題，考查了抽屜原理，解決此題的關(guān)鍵是寫(xiě)出這50個(gè)抽屜．