Question

16．如圖，BC為⊙O的直徑，A為圓上一點，點F為$\widehat{BC}$的中點，延長AB、AC，與過F點的切線交于D、E兩點．
（1）求證：BC∥DE；
（2）若BC：DF=4：3，求tan∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）連接OF，由題意，可得∠BOF=∠COF=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠OFE=90°，利用平行線的判定，即可證明；
（2）過點B作BG⊥DE于點G，可得四邊形BGFO是正方形，由BC：DF=4：3，可得BG：DG=2：1，利用銳角三角函數(shù)即可求得tan∠ABC．

解答 解：（1）連接OF，
∵點F為$\widehat{BC}$的中點，
∴$\widehat{BF}=\widehat{CF}$，
∴∠BOF=∠COF，
∵BC為直徑，
∴∠BOF+∠COF=180°，
∴∠BOF=∠COF=90°，
∵過F點的切線交于D、E兩點，
∴OF⊥DE，
∴∠OFE=90°，
∴∠BOF=∠OFE，
∴BC∥DE；
（2）過點B作BG⊥DE于點G，
∴四邊形BGFO是正方形，
∴BG=OF=GF=OB，
∵BC：DF=4：3，
∴BG：DG=2：1，
由（1）可知，tan∠ABC=tan∠BDG=$\frac{BG}{DG}$=2．

點評 本題主要考查切線的性質(zhì)及解直角三角形，解決第（1）題，需要靈活運用切線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)和判定定理，（2）題能根據(jù)BC：DF=4：3，得到BG：DG=2：1是解題的關(guān)鍵．