Question

7．過⊙O的直徑BC的延長線上一點A作圓的切線，D為切點，過B作切線的垂線交圓于點E，F(xiàn)為垂足，AC=DE，求AC和AB的比值．

Answer 1

分析 解：連結(jié)OD、CD，如圖，利用切線的性質(zhì)得OD⊥AF，則OD∥BF，所以∠1=∠2，則可證明∠2=∠3得到CD=DE，加上AC=DE，所以AC=CD，接著證明△OCD為等邊三角形得到∠6=60°，CD=OC，所以AO=2OD=2CD=2AC，然后計算AC：AB的值．

解答 解：連結(jié)OD、CD，如圖，
∵AF為切線，
∴OD⊥AF，
∵BF⊥AF，
∴OD∥BF，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$，
∴CD=DE，
而AC=DE，
∴AC=CD，
∴∠A=∠4，
∵∠A+∠6=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠5=∠6，
∴CO=CD，
而OC=OD，
∴△OCD為等邊三角形，
∴∠6=60°，CD=OC，
∴AO=2OD=2CD=2AC，
∴AC：AB=AC：3AC=1：3．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．解決本題的判斷△OCD為等邊三角形．