Question

如圖，已知二次函數y=ax²+2x+3的圖象與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C，其頂點為D，tan∠OBC=1，
（1）求點B的坐標；
（2）求a的值和二次函數y=ax²+2x+3的頂點坐標；
（3）求直線DC的解析式；
（4）在該二次函數的圖象上是否存在點P（點P與點B、C不重合），使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請你說明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函數y=ax²+2x+3的圖象與y軸交于點C，
∴令x=0，得y=3，
∴點C的坐標為（0，3），
∵tan∠OBC==1，
∴OB=OC=3，
∴點B的坐標為（3，0）；

（2）將點B（3，0）代入二次函數y=ax²+2x+3中，
可得：9a+6+3=0，
解得：a=-1，
∴二次函數的解析式為：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴二次函數y=ax²+2x+3的頂點D的坐標為（1，4）；

（3）設直線DC的解析式為y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線DC的解析式為：y=x+3；

（4）存在．
①∵直線BC的解析式為y=-x+3，
∴直線BC與直線DC垂直，
∴當點P與D重合時，△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形，即是△DBC，
∴此時點P的坐標為（1，4）；
②設PC為斜邊，設P（x，-x²+2x+3），
由勾股定理：PC²=PB²+BC²，
∴x²+（x²-2x+3-3）²=（x-3）²+（-x²+2x+3）²+18，
整理得：x²-x-6=0，
解得：x=3或x=-2，
∴當x=3時，y=0，（舍去），
當x=-2時，y=-5，
∴點P（-2，-5）；
∴點P的坐標為（1，4）或（-2，-5）．
分析：（1）由二次函數y=ax²+2x+3的圖象與y軸交于點C，令x=0，求得y的值，即可得點C的坐標，又由tan∠OBC=1，即可求得點B的坐標；
（2）將點B（3，0）代入二次函數y=ax²+2x+3中，即可求得a的值，利用配方法即可求得二次函數y=ax²+2x+3的頂點坐標；
（3）設直線DC的解析式為y=kx+b，利用待定系數法即可求得此一次函數的解析式；
（4）存在，分為PC是斜邊與PB是斜邊去分析，首先設P（x，-x²+2x+3），然后由勾股定理得方程，解方程即可求得點P的坐標．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質，函數與坐標系的交點問題以及勾股定理的應用．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．