Question

如圖：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）點(diǎn)Q（x，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過Q點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于P點(diǎn)、交直線BA于D點(diǎn)，連接OD，PB，當(dāng)點(diǎn)Q（x，0）在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求PD與x之間的函數(shù)關(guān)系式；以O(shè)、B、P、D為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？若能求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．
（3）是否存在一點(diǎn)Q，使以PD為直徑的圓與y軸相切？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y₁=a（x-1）²+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
∴y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
設(shè)直線AB的解析式為：y₂=kx+b，
由y₁=-x²+2x+3求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中，
解得：k=-1，b=3；
∴直線AB的解析式為：y₂=-x+3；

（2）設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q（x，0），則P點(diǎn)、D點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為x，
PD=QP-QD=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
當(dāng)PD=OB=3時(shí)，四邊形OBPD成為平行四邊形-x²+3x=3，此方程無解，
∴不存在點(diǎn)Q；
當(dāng)Q在x軸的負(fù)半軸Q′上時(shí)，如圖：P′D′=（-x+3）-（-x²+2x+3）=x²-3x=OB=3，
解得：x=＞0（舍去），x=，
∴以O(shè)、B、P、D為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形；

（3）假設(shè)存在一點(diǎn)Q，使以PD為直徑的圓與y軸相切，
①當(dāng)0＜x＜3時(shí)，設(shè)半徑r，r=PD，PD=QP-QD=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
∴r=（-x²+3x），
∴x=（-x²+3x），
解得：x₁=1，x₂=0（舍去），
∴Q₁（1，0）；
①當(dāng)x＜0時(shí)，設(shè)半徑為r，r=PD，PD=QD-QP=y₂-y₁=（-x+3）-（-x²+2x+3）=x²-3x，
∴r=（x²-3x），
∴-x=（x²-3x），
解得：x₁=1（舍去），x₂=0（舍去），
③當(dāng)x＞3時(shí)，設(shè)半徑為r，r=PD，PD=QD-QP=y₂-y₁=（-x+3）-（-x²+2x+3）=x²-3x，
∴r=（x²-3x），
∴x=（x²-3x），
解得：x₁=5，x₂=0（舍去），
∴Q₂（5，0）；
∴Q₁（1，0）、Q₂（5，0）時(shí)都與y軸相切．
分析：（1）先通過代入A點(diǎn)坐到二次函數(shù)解析式中，求出系數(shù)a的值，從而求二次函數(shù)解析式，再代入A，B求出直線AB解析式；
（2）設(shè)高Q（x，0），利用平行四邊形性質(zhì)對(duì)邊相等列出關(guān)于x的方程，注意平行于y軸的直線中，兩點(diǎn)之間的線段長度可以有兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差來求；
（3）利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，分別從當(dāng)0＜x＜3時(shí)，x＜0時(shí)，x＞3時(shí)三類情況討論圓與y的相切的關(guān)系即可求得Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及圓的切線的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，注意利用平行于y軸的直線中，兩點(diǎn)之間的線段長度可以有兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差來求是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．