Question

5．如圖，點(diǎn)C是以點(diǎn)O為圓心、AB為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、B重合），如果AB=4，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，設(shè)弦AC的長(zhǎng)為x，線段CD的長(zhǎng)為y，那么在下列圖象中，能表示y與x函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 連結(jié)BC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，則利用勾股定理得到BC=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，再利用面積法可得到y(tǒng)=$\frac{x•\sqrt{16-{x}^{2}}}{4}$，CD為半徑時(shí)最大，即y的最大值為2，此時(shí)x=2$\sqrt{2}$，由于y與x函數(shù)關(guān)系的圖象不是拋物線，也不是一次函數(shù)圖象，則可判斷A、C錯(cuò)誤；利用y最大時(shí)，x=2$\sqrt{2}$可對(duì)B、D進(jìn)行判斷．

解答 解：連結(jié)BC，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，
∵$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴y=$\frac{x•\sqrt{16-{x}^{2}}}{4}$，
∵y的最大值為2，此時(shí)x=2$\sqrt{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．解決本題的關(guān)鍵是利用圓周角定理得到∠ACB=90°．