Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為P，對稱軸為直線，且OC＝3OA．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D（2，m）在拋物線上，點(diǎn)E在直線AP上，使DE⊥OE，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；

（3）如圖2，連接BC與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)F，在拋物線上是否存在點(diǎn)G，使△GPF與△GBF的面積相等，若存在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：.

（2）E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

（3）理由見詳解.

【解析】

（1）利用拋物線的對稱軸方程求出b，利用OC＝3OA確定c的值，從而得到拋物線解析式.

（2）先求出D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），則AP上一點(diǎn)E，作EM⊥OB，DN⊥EM，則△EMO∽△DNE，得，設(shè)E（x，y），列出方程即可解決問題．
（3）設(shè)G（m，-m2+2m+3），根據(jù)，列出方程即可解決問題，當(dāng)G′在x軸下方時，方法類似．

解（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴ ，解得b=2

∴拋物線的解析式為：

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為：（a，0），（a<0），C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，c）, （c>0）則有：

解之得：（取負(fù)數(shù)）

又∵OC＝3OA

∴

∴

解之得：

∴拋物線的解析式為：

（2）

將D（2，m）代入拋物線的解析式為：得：

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）

如圖1，點(diǎn)E在直線AP上，DE⊥OE，作EM⊥OB，DN⊥EM，
則△EMO∽△DNE，
∴ ，
設(shè)E（x，y），
則 ，
∴
又∵，
解得：，

∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

；
（3）

由得F(1,2),B(3,0),P(1,4)

存在點(diǎn)G，使△GPF與△GBF的面積相等.

如圖2所示，設(shè)G（m，-m2+2m+3），
∵，
∴ ，
解得或，

當(dāng)時，

∴

當(dāng)時，

∴點(diǎn)G坐標(biāo)（，2），或（，2）
當(dāng)G′在x軸下方時，且在對稱軸的右側(cè)時，有

，
解得或（舍棄），

∴
∴點(diǎn)G坐標(biāo)（，），

當(dāng)G′在x軸下方時，且在對稱軸的左側(cè)時，有

解得： ,則，不符合題意舍去.
∴使△GPF與△GBF的面積相等點(diǎn)G的坐標(biāo)為，（，2），（，2）（，）．