Question

8．如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（6，0），（0，2），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過點(diǎn)D作直線y=-$\frac{1}{2}$x+m交折線OAB于點(diǎn)E．
（1）若直線y=-$\frac{1}{2}$x+m經(jīng)過點(diǎn)A，請(qǐng)直接寫出m的值；
（2）記△ODE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，試探究四邊形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積是否分隨著E點(diǎn)位置的變化而變化？若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線方程來求m的值；
（2）要表示出△ODE的面積，要分兩種情況討論，①如果點(diǎn)E在OA邊上，只需求出這個(gè)三角形的底邊OE長(zhǎng)（E點(diǎn)橫坐標(biāo)）和高（D點(diǎn)縱坐標(biāo)），代入三角形面積公式即可；②如果點(diǎn)E在AB邊上，這時(shí)△ODE的面積可用長(zhǎng)方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積；
（3）重疊部分是一個(gè)平行四邊形，由于這個(gè)平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個(gè)平行四邊形落在OA邊上的線段長(zhǎng)度是否變化．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（6，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x+m．得
0=-$\frac{1}{2}$×6+m，
解得m=3；

（2）由題意得B（6，2）．
若直線經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）時(shí)，則m=3，
若直線經(jīng)過點(diǎn)B（6，2）時(shí)，則m=5；
若直線經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）時(shí)，則m=2
當(dāng)點(diǎn)E在OA上時(shí)，2＜m≤3，
如圖1，此時(shí)E（2m，0），則S=$\frac{1}{2}$OE•CO=2m
當(dāng)點(diǎn)E在BA上時(shí)，3＜m＜5，
如圖2，此時(shí)E（6，m-3），D（2m-4，2）
∴S=S_矩形OABC-（S_△OCD+S_△DBE+S_△OAE）
=OA•OC-（$\frac{1}{2}$CD•OC+$\frac{1}{2}$BD•BE+$\frac{1}{2}$OA•AE）
=12-[$\frac{1}{2}$（2m-4）×2+$\frac{1}{2}$×（10-2m）（5-m）+$\frac{1}{2}$×6×（m-3）]
=5m-m²
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{2m（2＜m≤3）}\\{5m-{m}^{2}（3＜m＜5）}\end{array}\right.$；

（3）如圖3，設(shè)O₁A₁與CB相交于點(diǎn)M，OA與C₁B₁相交于點(diǎn)N，
則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．
由題意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四邊形DNEM為平行四邊形．
根據(jù)軸對(duì)稱知，∠MED=∠NED
又∵由DM∥NE可知∠MDE=∠NED
∴∠MED=∠MDE
∴MD=ME
∴平行四邊形DNEM為菱形，
過點(diǎn)D作DH⊥OA，垂足為H，
設(shè)菱形DNEM的邊長(zhǎng)為a，
則在Rt△DHN中，DH=2
∵HE=OE-OH=[2m-（2m-4）]=4
∴HN=HE-NE=4-a
由勾股定理得：（4-a）2+22=a2
解得a=$\frac{5}{2}$，
∴S_{四邊形DNEM}=NE•DH=5
∴矩形OA₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積不會(huì)隨著點(diǎn)E位置的變化而變化，面積始終為5．

點(diǎn)評(píng) 考查了一次函數(shù)綜合題，本題是一個(gè)動(dòng)態(tài)圖形中的面積是否變化的問題，看一個(gè)圖形的面積是否變化，關(guān)鍵是看決定這個(gè)面積的幾個(gè)量是否變化，本題題型新穎，是個(gè)不可多得的好題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區(qū)分度．