Question

5．已知二次函數(shù)y=m （x-1）（ x-4）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），頂點為C，將該二次函數(shù)的圖象關(guān)于x軸翻折，所得圖象的頂點為D．若四邊形ACBD為正方形，則m的值為±$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到A（1，0），B（4，0），得到拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{1+4}{2}$=$\frac{5}{2}$，設(shè)頂點C的坐標為（$\frac{5}{2}$，a），根據(jù)已知條件列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：∵二次函數(shù)y=m （x-1）（ x-4）的圖象與x軸交于A、B兩點，
∴A（1，0），B（4，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{1+4}{2}$=$\frac{5}{2}$，
設(shè)頂點C的坐標為（$\frac{5}{2}$，a），
∵四邊形ACBD為正方形，
∴|a|=$\frac{3}{2}$，
∴C（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）或C（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
把C點的坐標代入得，$\frac{3}{2}$=m（$\frac{5}{2}$-1）（ $\frac{5}{2}$-4）或-$\frac{3}{2}$=m（$\frac{5}{2}$-1）（ $\frac{5}{2}$-4），
解得：m=$±\frac{2}{3}$，
故答案為：±$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點問題，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，正方形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．