Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，OA=OC，AB=4，tan∠BCO=，二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）求過(guò)點(diǎn)A、B和拋物線頂點(diǎn)D的圓的半徑．

Answer 1

解：（1）設(shè)OB=x，則OA=OC=4+x；
Rt△OBC中，tan∠BCO==，即：
OC=5OB，4+x=5x，
解得x=1；
∴OB=1，OA=OC=5；
∴A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x+5），依題意有：
a（0+1）（0+5）=5，a=1；
∴y=（x+1）（x+5）=x²+6x+5；

（3）由（2）知：y=x²+6x+5=（x+3）²-4，則D（-3，-4）
過(guò)D作DE⊥x軸于E，則DE必過(guò)圓心M，連接BM，
設(shè)⊙M的半徑為R；
Rt△BME中，BM=R，ME=DE-DM=4-R，BE=AB=2；
由勾股定理得：BM²=ME²+BE²，
即R²=（4-R）²+4，
解得R=2.5；
故過(guò)點(diǎn)A、B和拋物線頂點(diǎn)D的圓的半徑為2.5．
分析：（1）可用OB表示出OA、OC的長(zhǎng)，進(jìn)而在Rt△OBC中，根據(jù)∠BCO的正切值求出OB的長(zhǎng)，即可得到OA、OC的長(zhǎng)，也就求得了A、B、C的坐標(biāo)；
（2）用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)拋物線的解析式可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)；過(guò)D作DE⊥x軸于E，根據(jù)拋物線與圓的對(duì)稱性可知DE必過(guò)圓心，連接MB（設(shè)圓心為M），在Rt△MEB中，可用⊙O的半徑表示出ME、MB的長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理求出⊙O的半徑．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、解直角三角形、垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，難度適中．