Question

如圖①，將一邊AB長(zhǎng)為4cm的矩形框架ABCD與兩直角邊分別為4cm、3cm的直角三角形框架拼成直角梯形ABED．動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)E出發(fā)，點(diǎn)P沿E→D→A方向以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿E→B→A方向以每秒4cm的速度運(yùn)動(dòng)．而當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也正好到達(dá)點(diǎn)A．設(shè)P，Q同時(shí)從點(diǎn)E出發(fā)時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為t秒．

（1）分別求出梯形中DE，AD的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)t=

7

4

時(shí)，求△EPQ的面積，并直接寫出此時(shí)△EPQ的形狀（如圖②）；
（3）在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得四邊形APEQ是梯形？若存在，請(qǐng)求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先在直角△DCE中利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，設(shè)AD=x，再根據(jù)“動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)E出發(fā)，點(diǎn)P沿E→D→A方向以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿E→B→A方向以每秒4cm的速度運(yùn)動(dòng)．而當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也正好到達(dá)點(diǎn)A”列出關(guān)于x的方程，解方程即可；
（2）△EPQ的面積=S_梯形ABED-S_△APQ-S_△BQE-S_△DPE，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△APQ∽△BQE，由相似三角形對(duì)應(yīng)角相等及直角三角形兩銳角互余得出∠AQP+∠BQE=90°，進(jìn)而得出△EPQ是直角三角形；
（3）根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度及運(yùn)動(dòng)路徑，可分三種情況進(jìn)行討論：①0≤t≤1；②1＜t≤

5

3

；③

5

3

＜t≤2．

解答：解：（1）如圖①．
在直角△DCE中，∵∠DCE=90°，DC=AB=4cm，CE=3cm，
∴DE=

DC2+CE2

=5cm；
設(shè)AD=xcm，則BC=xcm，
由題意，

4+x+3

4

=

x+5

3

，
解得x=1，
即AD=1cm；

（2）如圖②．
當(dāng)t=

7

4

時(shí)，BQ=4×

7

4

-1-3=3，PD=3×

7

4

-5=

1

4

，
∴AQ=1，AP=

3

4

，
∴△EPQ的面積=S_梯形ABED-S_△APQ-S_△BQE-S_△DPE
=

1

2

（1+4）×4-

1

2

×

3

4

×1-

1

2

×4×3-

1

2

×

1

4

×4
=10-

3

8

-6-

1

2

=

25

8

（cm²）；
∵AP：BQ=

3

4

：3=1：4，AQ：BE=1：4，
∴AP：BQ=AQ：BE．
∵在△APQ與△BQE中，

AP BQ = AQ BE ∠A=∠B=90°

，
∴△APQ∽△BQE，
∴∠AQP=∠BEQ，
∵∠BEQ+∠BQE=90°，
∴∠AQP+∠BQE=90°，
∴∠PQE=90°，
∴△EPQ是直角三角形；

（3）在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，存在時(shí)刻t，能夠使得四邊形APEQ是梯形．
分三種情況討論：
①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)Q在EB上，點(diǎn)P在ED上，如備用圖①；
PE=3t，QE=4t，BQ=4-4t．
若四邊形APEQ是梯形，則PE∥AQ，
又∵AD∥QE，
∴四邊形ADEQ是平行四邊形，
∴QE=AD，即4t=1，
解得t=

1

4

；
②當(dāng)1＜t≤

5

3

時(shí)，點(diǎn)Q在AB上，點(diǎn)P在ED上，如備用圖②；
若四邊形APEQ是梯形，則AP∥QE．
過點(diǎn)P作PM⊥AD于M，則BQ=4t-4，BE=4，EP=3t，DP=5-3t．
∵△PDM∽△DEC，
∴（5-3t）：5=DM：3=PM：4，
∴DM=

3

5

（5-3t），PM=

4

5

（5-3t），
∵△AMP∽△EBQ，
∴AM：EB=PM：QB，即[1+

3

5

（5-3t）]：4=

4

5

（5-3t）：（4t-4），
化簡(jiǎn)整理得，9t²-41t+40=0，
解得t=

41± 241

18

．
∵

41+ 241

18

＞

5

3

，舍去，
∴t=

41- 241

18

；
③當(dāng)

5

3

＜t≤2時(shí)，點(diǎn)Q在AB上，點(diǎn)P在AD上，如備用圖③，
顯然四邊形APEQ的兩組對(duì)邊都不平行，此時(shí)四邊形APEQ不可能為梯形．
綜上可知，在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，存在時(shí)刻t=

1

4

或t=

41- 241

18

，使得四邊形APEQ是梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題是相似形綜合題，其中涉及到矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形的判定與性質(zhì)，（3）中進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．