Question

11．已知二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和D（4，3），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象在點(diǎn)B，C之間的部分（包含點(diǎn)B，C）記為圖象G．已知直線l：y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，3），且直線l總位于圖象的上方，請(qǐng)直接寫(xiě)出b的取值范圍；
（3）如果點(diǎn)P（x₁，c）和點(diǎn)Q（x₂，c）在函數(shù)y=x²+mx+n的圖象上，且x₁＜x₂，PQ=2a．求x₁²-ax₂+6a+1的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，然后利用配方法求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求得直線經(jīng)過(guò)C和B兩種情況求得b的值，據(jù)此判斷b的范圍；
（3）二次函數(shù)y=x²-4x+3的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2，且x₁＜x₂，PQ=2a．則x₁=2-a，x₂=2+a，代入即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-1}\\{4m+n=-13}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=3}\end{array}\right.$．
故二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-4x+3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）；
（2）y=x²-4x+3中令x=0，解得y=3，則C的坐標(biāo)是（0，3）．
當(dāng)直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=9}\end{array}\right.$，
則3＜b＜9；
（3）∵P（x₁，c）和點(diǎn)Q（x₂，c）在函數(shù)y=x²-4x+3的圖象上，
∴PQ∥x軸，
∵二次函數(shù)y=x²-4x+3的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2，
又∵x₁＜x₂，PQ=2a．
∴x₁=2-a，x₂=2+a；
∴x₁²-2x₂+6a+1=（2-a）²-a（2+a）+6a+1=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，理解P和Q對(duì)稱(chēng)是關(guān)鍵．